解析幾何研究的問題是幾何問題,研究的手法是代數(shù)法(坐標(biāo)法).因此,求解解析幾何問題最大的思維難點是轉(zhuǎn)化,即幾何條件代數(shù)化.如何在解析幾何問題中實現(xiàn)代數(shù)式的轉(zhuǎn)化,找到常見問題的求解途徑,是突破解析幾何問題難點的關(guān)鍵所在.突破解析幾何難題,先從找解題突破口入手.
策略一 利用向量轉(zhuǎn)化幾何條件
[典例] 如圖所示,已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,問:是否存在斜率為1的直線l,使l與圓C交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓過原點?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
[解題觀摩] 假設(shè)存在斜率為1的直線l,使l與圓C交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓過原點.
設(shè)直線l的方程為y=x+b,點A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
消去y并整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
所以x1+x2=-(b+1),x1x2=.①
因為以AB為直徑的圓過原點,所以OA⊥OB,
即x1x2+y1y2=0.
又y1=x1+b,y2=x2+b,
則x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.
由①知,b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,
即b2+3b-4=0,解得b=-4或b=1.