圓的方程是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),高考中,除了圓的方程的求法外,圓的方程與其他知識(shí)的綜合問題也是高考考查的熱點(diǎn),常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
[典例] 已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.
[解] (1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y).
因?yàn)?/span>P點(diǎn)在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y).
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.
[方法技巧] 求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.(2019·廈門雙十中學(xué)月考)點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)連接的線段的中點(diǎn)的軌跡方程為( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析:選A 設(shè)中點(diǎn)為A(x,y),圓上任意一點(diǎn)為B(x′,y′),
由題意得,則
故(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)得,(x-2)2+(y+1)2=1,故選A.
2.已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).