數學歸納法的定義
一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:
1.(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立;
2.(歸納遞推)假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.
只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立,上述證明方法叫做數學歸納法.
1.概念辨析
(1)用數學歸納法證明問題時,第一步是驗證當n=1時結論成立.( )
(2)不論是等式還是不等式,用數學歸納法證明時,由n=k到n=k+1時,項數都增加了一項.( )
(3)用數學歸納法證明問題時,歸納假設可以不用.( )
(4)用數學歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗證n=1時,左邊式子應為1+2+22+23.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.小題熱身
(1)下列結論能用數學歸納法證明的是( )
A.x>sinx,x∈(0,π)
B.ex≥x+1(x∈R)
C.1+++…+=2-n-1(n∈N*)
D.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α,β∈R)
答案 C
解析 數學歸納法是用來證明與自然數有關的命題的一種方法,由此可知C符合題意.