(2018·昆明市教學質量檢測)在直角坐標系xOy中,已知定圓M:(x+1)2+y2=36,動圓N過點F(1,0)且與圓M相切,記動圓圓心N的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設A,P是曲線C上兩點,點A關于x軸的對稱點為B(異于點P),若直線AP,BP分別交x軸于點S,T,證明:|OS|·|OT|為定值.
【解】 (1)因為點F(1,0)在圓M:(x+1)2+y2=36內,
所以圓N內切于圓M,則|NM|+|NF|=6>|FM|,
由橢圓定義知,圓心N的軌跡為橢圓,且2a=6,c=1,則a2=9,b2=8,
所以動圓圓心N的軌跡方程為+=1.
(2)證明:設P(x0,y0),A(x1,y1),S(xS,0),T(xT,0),則B(x1,-y1),由題意知x0≠±x1,
則kAP=,直線AP的方程為y-y1=kAP(x-x1),
令y=0,得xS=,
同理xT==,
于是|OS|·|OT|=|xSxT|=
=,
又P(x0,y0)和A(x1,y1)在橢圓+=1上,故y=8,y=8,
則y-y=(x-x),xy-xy=8x-8x=8(x-x).
所以|OS|·|OT|=
==9.
圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略