(2018·云南第一次統(tǒng)一檢測)已知橢圓E的中心在原點,焦點F1,F2在y軸上,離心率等于,P是橢圓E上的點.以線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2,且9·=1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)作直線l與橢圓E交于兩個不同的點M,N.如果線段MN被直線2x+1=0平分,求直線l的傾斜角的取值范圍.
【解】 (1)依題意,設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0),半焦距為c.
因為橢圓E的離心率等于,
所以c=a,b2=a2-c2=.
因為以線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2,
所以PF2⊥F1F2.
所以|PF2|=.
因為9·=1,
所以9||2==1.
由,得,
所以橢圓E的方程為+x2=1.