1.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線(xiàn)向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.
(2)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn),那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.
(3)空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.
2.兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)
(1)兩向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間中任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則∠AOB叫做向量a與b的夾角,記作〈a,b〉.通常規(guī)定0≤〈a,b〉≤π.若〈a,b〉=,則稱(chēng)向量a,b互相垂直,記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積
兩個(gè)非零向量a,b的數(shù)量積a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)
①a·e=|a|cos〈a,e〉(其中e為單位向量);
②a⊥b⇔a·b=0;
③|a|2=a·a=a2;
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的數(shù)量積滿(mǎn)足如下運(yùn)算律
①(λa)·b=λ(a·b);
②a·b=b·a(交換律);
③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).