基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值,即所謂“和定積最大,積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值,有的需要對待求式作適當(dāng)變形后才可求最值.常見的變形技巧有以下幾種:
加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值
函數(shù)f(x)=+x(x<3)的最大值是( )
A.-4 B.1
C.5 D.-1
【解析】 因為x<3,所以3-x>0,所以f(x)=-+3≤-2+3=-1.當(dāng)且僅當(dāng)=3-x,即x=1時等號成立,所以f(x)的最大值是-1.
【答案】 D
平方后再使用基本不等式
一般地,含有根式的最值問題,首先考慮平方后求最值.
若x>0,y>0,且2x2+=8,求x的最大值.
由于已知條件式中有關(guān)x,y的式子均為平方式,而所求式中x是一次的,且根號下y是二次的,因此考慮平方后求其最值.
【解】 (x)2=x2(6+2y2)=3·2x2≤3·=3×.當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1+,即x=,y=時,等號成立.故x的最大值為.
展開后求最值
對于求多項式積的形式的最值,可以考慮展開后求其最值.
已知a>0,b>0且a+b=2,求的最小值.