在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的客觀題中,有一個(gè)熱點(diǎn)考查點(diǎn),即不給出具體的函數(shù)解析式,而是給出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件,需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù),再根據(jù)條件得出構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)用單調(diào)性解決問題的題目,該類題目具有一定的難度.下面總結(jié)其基本類型及其處理方法.
只含f(x)型
定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且對(duì)任意x∈R都有f′(x)<,則不等式f(x2)>的解集為( )
A.(1,2) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-1,1)
【解析】 構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x+c(c為常數(shù)),則g′(x)<0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,且g(1)=f(1)-+c=+c.f(x2)>=x2+,
即f(x2)-x2+c>+c,即g(x2)>g(1),
即x2<1,即-1<x<1.故選D.
【答案】 D
利用(f(x)+kx+b)′=f′(x)+k,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào),可得出函數(shù)g(x)=f(x)+kx+b的單調(diào)性,利用其單調(diào)性比較函數(shù)值大小、解抽象函數(shù)的不等式等.
含λf(x)±f′(x)(λ為常數(shù))型
(1)已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù),且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),則有( )
A.e2 015f(-2 015)<f(0),f(2 015)>e2 015f(0)
B.e2 015f(-2 015)<f(0),f(2 015)<e2 015f(0)
C.e2 015f(-2 015)>f(0),f(2 015)>e2 015f(0)
D.e2 015f(-2 015)>f(0),f(2 015)<e2 015f(0)