(2017·高考全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a<0時,證明f(x)≤--2.
【解】 (1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=+2ax+2a+1=.當(dāng)a≥0,則當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)a<0,則當(dāng)x∈(0,-)時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(-,+∞)時,f′(x)<0.故f(x)在(0,-)上單調(diào)遞增,在(-,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)證明:由(1)知,當(dāng)a<0時,f(x)在x=-取得最大值,最大值為f(-)=ln(-)-1-.
所以f(x)≤--2等價于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.設(shè)g(x)=ln x-x+1,則g′(x)=-1.當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.所以當(dāng)x>0時,g(x)≤0.從而當(dāng)a<0時,ln(-)++1≤0,即f(x)≤--2.
將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來證明不等式,其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性,直接求得函數(shù)的最值,然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接證得不等式.