1.二維形式的柯西不等式
(1)定理1(二維形式的柯西不等式)
若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立.
(2)(二維變式)·≥|ac+bd|,·≥|ac|+|bd|.
(3)定理2(柯西不等式的向量形式)
設α,β是兩個向量,則|α·β|≤|α||β|,當且僅當β是零向量,或存在實數(shù)k,使α=kβ時,等號成立.
(4)定理3(二維形式的三角不等式)
設x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥.
(5)(三角變式)設x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,則+≥.
2.柯西不等式的一般形式
設a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.
3.排序不等式
設a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù),c1,c2,…,cn為b1,b2,…,bn的任一排列,則有:a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時,反序和等于順序和.
排序原理可簡記作:反序和≤亂序和≤順序和.