[典例] 有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵板,現(xiàn)從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)相同的小正方形,做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器.為使其容積最大,截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少?
[解] 設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)為x,容器容積為V(x),則做成的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器底面邊長(zhǎng)為a-2x,高為x,
V(x)=(a-2x)2x,0<x<.
即V(x)=4x3-4ax2+a2x,0<x<.
實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為求V(x)在區(qū)間上的最大值點(diǎn).
為此,先求V(x)的極值點(diǎn).在開區(qū)間內(nèi),
V′(x)=12x2-8ax+a2.