1.1.2 余弦定理
從容說(shuō)課
課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí),首先提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法,這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題,也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題”.這樣,用聯(lián)系的觀點(diǎn),從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題,使學(xué)生對(duì)過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí),同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上,使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).設(shè)置這樣的問(wèn)題,是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).比如對(duì)于余弦定理的證明,常用的方法是借助于三角的方法,需要對(duì)三角形進(jìn)行討論,方法不夠簡(jiǎn)潔,通過(guò)向量知識(shí)給予證明,引起學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡(jiǎn)便之處.教科書就是用了向量的方法,發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力.
在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個(gè)思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系?”并進(jìn)而指出,“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是直角;如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)