第6講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問(wèn)題
例1 (13分)(2014·安徽)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.
規(guī)范解答
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.[1分]
令f′(x)=0,
得x1=,x2=,x1<x2,
所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).[2分]
當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x1<x<x2時(shí),f′(x)>0.[4分]
故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增.[5分]
(2)因?yàn)?i>a>0,所以x1<0,x2>0.[6分]
①當(dāng)a≥4時(shí),x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,