在解決數(shù)學(xué)問題時,根據(jù)問題的背景和可能,使數(shù)的問題,借助形去觀察,而形的問題,借助數(shù)去思考,采用這種“數(shù)形結(jié)合”來解決問題的策略,我們稱之為“數(shù)形結(jié)合的思想方法”。
也就是說:“以形助數(shù)”、“以數(shù)賦形”兩種處理問題的途徑,這本身體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,化歸的思想。數(shù)形結(jié)合的基本思路是:根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形,并利用圖形的特性和規(guī)律,解決數(shù)的問題;或?qū)⑿蔚男畔⒒蛉哭D(zhuǎn)化成代數(shù)信息,削弱或消除形的推理部分,使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。
但是數(shù)形結(jié)合容易出錯誤,因此根據(jù)題目的特點(diǎn),講完題目后,我每每告誡同學(xué)們,要做到“不唯書,不唯上,不唯權(quán)威,不唯眼睛。”同時恰時恰點(diǎn)的引用華羅庚先生的詩來說明數(shù)形結(jié)合應(yīng)注意的什么。“數(shù)形本是相倚依,焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”
下面我就結(jié)合人教B版必修五個模塊的內(nèi)容,具體談一下如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。
必修(1)第一章集合:如果是抽象集合常用維恩圖,如果是數(shù)集常用數(shù)軸,如果是點(diǎn)集常用坐標(biāo)系,把抽象的問題具體化,以形助數(shù)。
第二章函數(shù):一次函數(shù)和二次函數(shù)是學(xué)生早已熟悉的,通過本章學(xué)習(xí)進(jìn)一步加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合的思想,通過函數(shù)的圖象、函數(shù)的五大性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)呼之欲出。通過函數(shù)的圖象,進(jìn)一步明確方程的根即函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。
第三章指、對、冪函數(shù)的學(xué)習(xí)中,要熟記其圖象便于解題,另外在練習(xí)中出現(xiàn)了超越不等式,解超越方程式不等式時常用數(shù)形結(jié)合法,在此我們要理解數(shù)形結(jié)合思想下方法是不同的,方法是具有可操作性的,要個別記憶,而思想是普遍的,滲透在各章中每一個角落。例如課本P131第8題、P132第7題,題目均要求畫出圖形加以說明。
必修(2)第一章立體幾何初步,主要是通過常見幾何體來直觀確認(rèn)空間位置關(guān)系,并落實到度量和計算,及用邏輯推理來進(jìn)一步點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。由具體到抽象,符合人的認(rèn)知規(guī)律,如同小孩子過家家,先把玩玩具,然后將它大卸八塊,認(rèn)識其機(jī)理。
第二章平面解析幾何初步,直線與圓更是數(shù)形結(jié)合的最佳結(jié)合點(diǎn),因為圓有良好的幾何性質(zhì),既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,所以解決圓的問題常用數(shù)形結(jié)合。
必修(3)第一章算法初步,用框圖來表示算法,把文字語言用圖形語言來表現(xiàn),直觀簡明,一圖勝萬言。由此我聯(lián)想到愛因斯坦,他在演講時,把幾千字的演講稿,只用巴掌大的紙來畫圖表示,從而加強(qiáng)記憶。由此可以看出圖的作用是多么巨大。
第二章統(tǒng)計,用莖葉圖,頻率分布直方圖來表示數(shù)據(jù)的特征,用散點(diǎn)圖、回歸直線來表示兩個變量的相關(guān)程度,都是數(shù)形結(jié)合的典范。
第三章概率用維思圖來說明王斥事件簡單明了,易于接受。古典概型中用坐標(biāo)系來找基本事件部分,如P113例5,用樹形圖來找基本事件總數(shù),如P114例6,幾何概型中更是離不開圖,無論是面積比、體積比還是長度比的幾何概型都要借助圖形來推理計算。
必修(4)第一章,三角函數(shù)中的單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)的圖象在解題中經(jīng)常用到。
第二章平面向量是聯(lián)系幾何、代數(shù)與三角的橋梁,因此本章時時圍繞圖形進(jìn)行說明有關(guān)運(yùn)算法則及運(yùn)算律。
必修(5)第一章解三角形要抓住三角形進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的分析,才能用好正余弦定理及三角函數(shù)的有關(guān)知識。
第二章數(shù)列是一類特殊的函數(shù),等差數(shù)列的通項公式是一次函數(shù),它表示一次函數(shù)圖象上的孤立點(diǎn),前幾項和公式是二次函數(shù),它表示二次函數(shù)圖象上的孤立點(diǎn),等比數(shù)列的通項公式是一個非零常數(shù)與一個指數(shù)函數(shù)的積,其圖象是一條指數(shù)函數(shù)圖象的曲線。
第三章不等式:均值不等式的推導(dǎo)借助了幾何證明,同時我們要在使用均值不等式時,借助雙鉤函數(shù)的圖象,進(jìn)一步加強(qiáng)應(yīng)用,一元二次不等式借助函數(shù)的圖象來說明:“小于零中間找,大于零兩邊跑”。線性規(guī)劃更是我們加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的好素材,應(yīng)用時畫圖要準(zhǔn)確,找對可行域,從而才能用好圖形。
總之必修課程(新教材)五個模塊中,每一章均滲透了數(shù)形結(jié)合思想,也就要求我們對這種思想方法進(jìn)一步總結(jié),找到規(guī)律和注意點(diǎn),加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合,也就加強(qiáng)了左右腦互動,掀起“腦風(fēng)暴”,有利于創(chuàng)造思維的培養(yǎng),有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。